5.2.5 集合的基数

在第 440 页 5.2.1 中我们将一个有限集的元素个数称为这个集合的基数. 基数的概念可以扩充到无限集.

1. 基数

两个集合 $A$ 和 $B$ 称作等计数的,如果它们之间存在双射. 对于每个集合 $A$ 指派一个基数 $\left|A\right|$ 或 $\mathrm{card}A$ ,所以等计数集合有相同的基数. 一个集合与它的幂集绝不会等计数, 所以没有 “最大” 的基数.

2. 无限集

无限集可以用下列性质来刻画: 它们具有与集合自身等计数的真子集. “最小” 的无穷基数是自然数集 $\mathbb{N}$ 的基数,将它记为 ${\mathrm{\aleph }}_0$ (阿列夫 0 ).

若一个集合与 $\mathbb{N}$ 等计数,则称为可枚举的或可数的. 这意味着它的元素可以逐个列举,或写成一个无穷序列 $a_1,a_2,\cdots$ .

若一个集合不与 $\mathbb{N}$ 等计数,则称为不可数的. 于是每个不能枚举的无限集是不可数的.

$◼\mathbf{A}$: 整数集 $\mathbb{Z}$ 和有理数集 $\mathbb{Q}$ 是可数集. B : 实数集 $\mathbb{R}$ 和复数集 $\mathbb{C}$ 是不可数集. 这些集合与自然数集的幂集 $\mathbb{P}\left(\mathbb{N}\right)$ 等计数, 并且它们的基数称为连续统.