11.2.3 弗雷德霍姆解法、弗雷德霍姆定理

11.2.3.1 弗雷德霍姆解法

1. 离散化的近似解

可以用一个线性方程组近似地表达第二类弗雷德霍姆积分方程

$$\begin{array}{}\text{(11.15)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

但是必须假设函数 $K\left(x,y\right)$ 和 $f\left(x\right)$ 在 $a\le x\le b,a\le y\le b$ 上是连续的.

(11.15) 中的积分可以用所谓的左矩形公式 (参见第 1253 页 19.3.2.1) 来近似. 也可以用任意别的求积公式 (参见第 1252 页 19.3.1). 一个等距划分

$$\begin{array}{}\text{(11.16a)}& y_k=a+\left(k-1\right)h\left(k=1,2,\cdots ,n;h=\left(b-a\right)/n\right)\end{array}$$

导致近似

$$\begin{array}{}\text{(11.16b)}& \phi \left(x\right)\approx f\left(x\right)+\lambda h\left[K\left(x,y_1\right)\phi \left(y_1\right)+\cdots +K\left(x,y_n\right)\phi \left(y_n\right)\right].\end{array}$$

用精确满足 (11.16b) 的函数 $\overline{\phi }\left(x\right)$ 代替 (11.16c) 中的 $\phi \left(x\right)$ ,得到

$$\begin{array}{}\text{(11.16c)}& \overline{\phi }\left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda h\left[K\left(x,y_1\right)\overline{\phi }\left(y_1\right)+\cdots +K\left(x,y_n\right)\overline{\phi }\left(y_n\right)\right].\end{array}$$

为了确定这个近似解,必须知道 $\overline{\phi }\left(x\right)$ 在诸插值节点 $x_k=a+\left(k-1\right)h$ 处的代换值. 在 (11.16c) 中代入 $x=x_1,x=x_2,\cdots ,x=x_n$ ,导致所需要的 $n$ 个代换值 $\overline{\phi }\left(x_k\right)$ 的一个线性方程组. 利用简便记号

$$\begin{array}{}\text{(11.17a)}& K_{jk}=K\left(x_j,y_k\right),{\phi }_k=\overline{\phi }\left(x_k\right),f_k=f\left(x_k\right),\end{array}$$

这个方程组有形式

$$\left(1-\lambda h{K}_{11}\right){\phi }_1-\lambda h{K}_{12}{\phi }_2-\cdots -\lambda h{K}_{1n}{\phi }_n=f_1,$$

......

$$\begin{array}{}\text{(11.17b)}& -\lambda h{K}_{21}{\phi }_1+\left(1-\lambda h{K}_{22}\right){\phi }_2-\cdots -\lambda h{K}_{2n}{\phi }_n=f_2,\end{array}$$$$-\lambda h{K}_{n1}{\phi }_1-\lambda h{K}_{n2}{\phi }_2-\cdots +\left(1-\lambda h{K}_{nn}\right){\phi }_n=f_n.$$

这个方程组的系数行列式为

$$\begin{array}{}\text{(11.17c)}& D_n\left(\lambda \right)=\left|\begin{array}{cccc}1-\lambda h{K}_{11}& -\lambda h{K}_{12}& \cdots & -\lambda h{K}_{1n}\\ -\lambda h{K}_{21}& 1-\lambda h{K}_{22}& \cdots & -\lambda h{K}_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -\lambda h{K}_{n1}& -\lambda h{K}_{n2}& \cdots & 1-\lambda h{K}_{nn}\end{array}\right|.\end{array}$$

这个行列式与具有退化核的积分方程的解中的系数行列式有相同的结构. 方程组 (11.17b) 对于每个使得 $D_n\left(\lambda \right)\ne 0$ 的 $\lambda$ 有一个唯一解. 该解给出了未知函数 $\phi \left(x\right)$ 在插值节点处的代换值. 使得 $D_n\left(\lambda \right)=0$ 的 $\lambda$ 值是积分方程本征值的近似. 方程组 (11.17b) 的解可以用商的形式 (参见第 416 页 4.5.2.3, 克拉默法则) 写成

$$\begin{array}{}\text{(11.18)}& {\phi }_k=\frac{D_n^k\left(\lambda \right)}{D_n\left(\lambda \right)}\approx \phi \left(x_k\right),k=1,\cdots ,n.\end{array}$$

这里,用 $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ 替代 $D_n\left(\lambda \right)$ 中第 $k$ 列元素即得到 $D_n^k\left(\lambda \right)$ .

2. 预解式的计算

如果 $n$ 趋于无穷,则行列式 $D_n^k\left(\lambda \right)$ 和 $D_n\left(\lambda \right)$ 的行数和列数亦然. 行列式

$$\begin{array}{}\text{(11.19a)}& D\left(\lambda \right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{D}_n\left(\lambda \right)\end{array}$$

被用于得到形如

$$\begin{array}{}\text{(11.19b)}& \mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)=\frac{D\left(x,y;\lambda \right)}{D\left(\lambda \right)}\end{array}$$

的解核 (预解式) $\mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)$ (参见第 821 页 11.2.2). $D\left(\lambda \right)$ 的每个根是 $\mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)$ 的一个极点. 满足 $D\left(\lambda \right)=0$ 的这些 $\lambda$ ,正是积分方程 (11.15) 的本征值,并且在此情形齐次积分方程有非零解,即属于该本征值的本征函数. 在 $D\left(\lambda \right)\ne 0$ 的情形,知道了预解式 $\mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)$ 后,解的显式即为

$$\begin{array}{}\text{(11.19c)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^b\mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)f\left(y\right)\mathrm{d}y=f\left(x\right)+\frac{\lambda }{D\left(\lambda \right)}{\int }_a^{b}D\left(x,y;\lambda \right)f\left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

为了得到预解式,需要 $D\left(x,y;\lambda \right)$ 和 $D\left(\lambda \right)$ 关于 $\lambda$ 的幂级数:

$$\begin{array}{}\text{(11.20a)}& \mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)=\frac{D\left(x,y;\lambda \right)}{D\left(\lambda \right)}=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n{K}_n\left(x,y\right)\cdot {\lambda }^n}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n{d}_n\cdot {\lambda }^n},\end{array}$$

其中 $d_0=1,K_0\left(x,y\right)=K\left(x,y\right)$ . 从递推公式

$$d_n=\frac{1}{n}{\int }_a^b{k}_{n-1}\left(x,x\right)\mathrm{d}x,K_n\left(x,y\right)=K\left(x,y\right)\cdot d_n-{\int }_a^{b}K\left(x,t\right)K_{n-1}\left(t,y\right)\mathrm{d}t$$

(11.20b)

得到其他所有的系数.

$◼\mathbf{A}$: $\phi \left(x\right)=\sin x+\lambda {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\cos y\phi \left(y\right)\mathrm{d}y$ . 这个积分方程的精确解为 $\phi \left(x\right)=$ $\frac{2}{2-\lambda }\sin x$ . 对于 $n=3$ ,由 $x_1=0,x_2=\frac{\pi }{6},x_3=\frac{\pi }{3},h=\frac{\pi }{6}$ 给出

$$D_3\left(\lambda \right)=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -\frac{\lambda \pi }{12}& 1-\frac{\sqrt{3}\lambda \pi }{24}& -\frac{\lambda \pi }{24}\\ -\frac{\sqrt{3}\lambda \pi }{12}& -\frac{3\lambda \pi }{24}& 1-\frac{\sqrt{3}\lambda \pi }{24}\end{array}\right|$$$$={(1-\frac{\sqrt{3}\lambda \pi }{24})}^2-\frac{{\lambda }^2{\pi }^2}{192}=1-\frac{\sqrt{3}\lambda \pi }{12}\cdot \lambda =\frac{12}{\sqrt{3}\pi }\approx 2.205$$

是本征值 $\lambda =2$ 的一个近似值. 从 $f_1=0$ 的方程组 (11.17b) 的第一个方程得到 ${\phi }_1=0$ . 把这个结果代入第二个和第三个方程,得到方程组: $\left(1-\frac{\sqrt{3}\lambda \pi }{24}\right){\phi }_2-$ $\frac{\lambda \pi }{24}{\phi }_3=\frac{1}{2},-\frac{3\lambda \pi }{24}{\phi }_2+\left(1-\frac{\sqrt{3}\lambda \pi }{24}\right){\phi }_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$ . 这个方程组有解 ${\phi }_2=\frac{1}{2-\frac{\sqrt{3}\pi }{6}\lambda }$ , ${\phi }_3=\frac{\sqrt{3}}{2-\frac{\sqrt{3}\pi }{6}\lambda }$ . 如果 $\lambda =1$ ,则 ${\phi }_1=0,{\phi }_2=0.915,{\phi }_3=1.585$ . 精确解的代换值是: $\phi \left(0\right)=0,\phi \left(\frac{\pi }{6}\right)=1,\phi \left(\frac{\pi }{3}\right)=1.732$ .

为了取得更好的精度, 必须增加插值节点的数目.

$◼\mathbf{B}$: $\phi \left(x\right)=x+\lambda {\int }_0^1\left(4xy-x^2\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y;d_0=1,K_0\left(x,y\right)=4xy-x^2,d_1=$${\int }_0^{1}3x^2\mathrm{d}x=1,K_1\left(x,y\right)=4xy-x^2-{\int }_0^1\left(4xt-x^2\right)\left(4ty-t^2\right)\mathrm{d}t=x+2x^{2}y-\frac{4}{3}{x}^2-$ $\frac{4}{3}xy,d_2=\frac{1}{2}{\int }_0^1{K}_1\left(x,x\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{18},K_2\left(x,y\right)=\frac{1}{18}\left(4xy-x^2\right)-{\int }_0^{1}K\left(x,t\right)K_1\left(t,y\right)\mathrm{d}t$$=0$ . 利用这些值得到, $d_3,K_3\left(x,y\right)$ ,以及此后所有的 $d_k$ 和 $K_k\left(x,y\right)$ 都等于零. $\mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)=\frac{4xy-x^2-\left[x+2x^{2}y-\frac{4}{3}{x}^2-\frac{4}{3}xy\right]\lambda }{1-\lambda +\frac{{\lambda }^2}{18}}$ . 从 $1-\lambda +\frac{{\lambda }^2}{18}=0$ 得到两个本征值 ${\lambda }_{1,2}=9\pm 3\sqrt{7}$ . 如果 $\lambda$ 不是本征值,则解是 $\phi \left(x\right)=x+\lambda {\int }_0^1\mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)f\left(y\right)\mathrm{d}y=$$\frac{3x\left(2\lambda -3\lambda x+6\right)}{{\lambda }^2-18\lambda +18}$

11.2.3.2 弗雷德霍姆定理

对于第二类弗雷德霍姆积分方程

$$\begin{array}{}\text{(11.21a)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$

相应的转置积分方程由

$$\begin{array}{}\text{(11.21b)}& \psi \left(x\right)=g\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(y,x\right)\psi \left(y\right)\mathrm{d}y\end{array}$$

给出. 对于这一对积分方程, 下述一些陈述成立 (也参见第 817 页 11.2.1).

(1)一个第二类弗雷德霍姆积分方程只能有有限多个或可数无穷个本征值. 这些本征值在任意有限区间中不能有聚点,即,对任意正数 $R$ ,只能有有限多个本征值 $\lambda$ 满足 $\left|\lambda \right|<R$ .

(2) 如果 $\lambda$ 不是 (11.21a) 的本征值,那么两个非齐次积分方程对任意扰动函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 都有唯一解,并且两个相应的齐次积分方程只有平凡解.

(3) 如果 $\lambda$ 是 (11.21a) 的一个本征值,那么 $\lambda$ 也是转置方程 (11.21b) 的一个本征值. 两个齐次积分方程有非零解, 并且对于这两个方程, 线性无关解的数目是相同的.

(4) 对于一个本征值 $\lambda$ ,可以解齐次积分方程 (11.21a),当且仅当其扰动函数正交于齐次转置积分方程的每个解, 即, 对积分方程

$$\begin{array}{}\text{(11.22a)}& \psi \left(x\right)=\lambda {\int }_a^{b}K\left(y,x\right)\psi \left(y\right)\mathrm{d}y\end{array}$$

的每个解 $\psi$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(11.22b)}& {\int }_a^{b}f\left(x\right)\psi \left(x\right)\mathrm{d}x=0.\end{array}$$

从这些陈述即得弗雷德霍姆择一定理(Fredholm alternative theorem): 或者对于任意扰动函数 $f\left(x\right)$ 非齐次积分方程可解,或者相应的齐次积分方程有非平凡解.