12.8.4 绍德尔不动点定理

设 $T:D\to X$ 是定义在巴拿赫空间 $X$ 的子集 $D$ 上的一非线性算子. 方程 $x=T\left(x\right)$ 是否至少有一个解,这个并非不足道的问题可以回答如下: 如果 $X=\mathbb{R}$ , $D=\left[-1,1\right]$ ,那么每个将 $D$ 映入 $D$ 的连续函数在 $D$ 中有一个不动点. 如果 $X$ 是任意有穷维赋范空间 $\left(\dim X\ge 2\right)$ ,则布劳威尔不动点定理成立.

(1) 布劳威尔不动点定理 设 $D$ 是有穷维赋范空间的一非空闭有界凸子集. 如果 $T$ 是将 $D$ 映入自身的连续映射,则 $T$ 在 $D$ 中至少有一个不动点.

在任意无穷维巴拿赫空间情形的答案则由绍德尔不动点定理给出.

(2) 绍德尔不动点定理 设 $D$ 是巴拿赫空间的一非空闭有界凸子集. 如果 $T:D\to X$ 是连续且紧的 (从而是全连续的),并且将 $D$ 映入自身,那么 $T$ 在 $D$ 中至少有一个不动点.

使用该定理, 例如, 可以证明, 只要假定右端连续, 则初值问题 (如第 872 页 (12.70)) 总有局部解.