12.3.3 序赋范空间

1. 赋范空间中的锥

设 $X$ 是范数为 $\parallel \cdot \parallel$ 的实赋范空间. 一个锥 $X_{+}\subset X$ (参见第 859 页 12.1.4.2) 称作实心的,是指 $X_{+}$ 包含一个 (正半径的) 球,或等价地,至少含有一个内点. 1 空间 $\mathbb{R},\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right),\mathbf{c}$ 中常用的这些锥都是实心的,但在空间 $L^p\left(\left(a,b\right)\right)$ 和 ${\ell }^p$ 中则不是实心的.

锥 $X_{+}$ 称作正规的,是指 $X$ 中的范数是半单调的,即存在正常数 $M>0$ ,使得

$$\begin{array}{}\text{(12.92)}& 0\le x\le y\Rightarrow \parallel x\parallel \le M\parallel y\parallel .\end{array}$$

如果 $X$ 是巴拿赫空间,其序由锥 $X_{+}$ 给出,那么每个 (o) 区间相对于范数有界当且仅当锥 $X_{+}$ 是正规的.

$◼$ 在空间 ${\mathbb{R}}^n,\mathbf{m},\mathbf{c},{\mathbf{c}}_0,\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right),{\ell }^p$ 和 $L^p$ 中,分别由非负分量和非负函数的向量组成的锥是正规的.

一个锥称作正则的, 是指每一个单调增的上有界序列:

$$\begin{array}{}\text{(12.93)}& x_1\le x_2\le \cdots \le x_n\le \cdots \le z\end{array}$$

是 $X$ 中的柯西列.

$◼{\mathbb{R}}^n,{\ell }^p$ 和 $L^p\left(1\le p\le \mathrm{\infty }\right)$ 中这些锥是正则的,但在 $\mathcal{C}$ 和 $\mathbf{c}$ 中则是非正则的.

2. 赋范向量格和巴拿赫格

设 $X$ 是一个向量格,同时也是一个赋范空间. $X$ 称作赋范格或赋范向量格(参见 [12.18],[12.22], [12.25], [12.26]), 是指范数满足条件:

$$\begin{array}{}\text{(12.94)}& \left|x\right|\le \left|y\right|\Rightarrow \parallel x\parallel \le \parallel y\parallel ,\mathrm{\forall }x,y\in X\text{ (范数的单调性). }\end{array}$$

一个 (相对于范数) 完备的赋范格称作巴拿赫格.

$◼$ 空间 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right),L^p,{\ell }^p,\mathcal{B}\left(\left[a,b\right]\right)$ 都是巴拿赫格.